Noch ist da doch keine Entscheidung gefallen, da noch kein Gerichtstermin wahrgenommen wurde, wenn ich das richtig verstanden habe.
Nach deiner aktuellen Schilderung habt ihr ja noch nicht mal eine beurkundete Sorgeerklärung abgegeben (§ 1626a BGB), das Sorgerecht liegt also bei der Mutter (sofern ihr nicht verheiratet wart). Demnach würde nach §1671 Abs. 2 Nr. 2 BGB ohnehin vorher geprüft ob ein gemeinsames Sorgerecht nicht eher dem Wohl des Kindes entspräche:
(2) Leben Eltern nicht nur vorübergehend getrennt und steht die elterliche Sorge nach § 1626a Absatz 3 der Mutter zu, so kann der Vater beantragen, dass ihm das Familiengericht die elterliche Sorge oder einen Teil der elterlichen Sorge allein überträgt. Dem Antrag ist stattzugeben, soweit
1.
die Mutter zustimmt, es sei denn, die Übertragung widerspricht dem Wohl des Kindes oder das Kind hat das 14. Lebensjahr vollendet und widerspricht der Übertragung, oder
2.
eine gemeinsame Sorge nicht in Betracht kommt und zu erwarten ist, dass die Übertragung auf den Vater dem Wohl des Kindes am besten entspricht.
Nach deiner Schilderung ist davon auszugehen, dass eine gemeinsame Sorge durchaus in Frage käme, da die Mutter sich ja zu kümmern scheint und keine Kindeswohlgefährdung vorliegt (+ § 1626 Abs. 3 BGB). Die Frage wäre dann eben ob der Gefängnisaufenthalt hier als Nachteil für das Kindeswohl gelten würde. Das kann ich nicht beurteilen, ich vermute aber, dass das Gericht ohnehin die Bedingungen vom §1671 Abs. 2 Nr. 2 BGB als nicht gegeben ansehen würde, denn eine gemeinsame Sorge käme ja in Betracht.
Also:
Kläre mit deiner Ex die Zustimmung und Beantragung einer Sorgeerklärung (§1626a Abs. 1 S.1 BGB), was am einfachsten wäre wenn sie dem einfach zustimmt. Kläre mit dem Jugendamt das Missverständnis der alleinigen Sorgebeantragung (auch wenn das Gericht ohnehin das letzte Wort hätte und diese wahrscheinlich ohnehin ablehnen würde, da du jenes wahrscheinlich nicht ausreichend begründen könntest im Hinblick auf die Gefährdung des Kindeswohls). Wenn sich deine Ex weiterhin weigert, müsstest du das gemeinsame Sorgerecht (oder wenigstens Teile davon) einklagen nach §1626a BGB. Dann müsste deine Ex nachweisen, dass das die gemeinsame elterliche Sorge dem Kindeswohl widerspräche. Das Jugendamt scheint ja schonmal auf deiner Seite zu sein. Das würde ich dann aber tatsächlich mit einem Anwalt machen, wenn du diesen Weg gehen willst.
Außerdem kannst du auch mal schauen, ob du vielleicht eine Familien-/Sozialberatung in deiner Stadt gibt, die Beratungen zu dem Thema anbieten. Könnte aber schwierig werden da kurzfristig einen Termin zu bekommen.
Disclaimer: Keine Rechtsberatung, ich bin kein Jurist und kenne den konkreten Einzelfall nicht. Habe nur versucht das etwas aufzudröseln.