Problem mit Mathe: Differenzierbarkeit in einem Punkt mittels h-Methode und Grenzwert

[Commodo]

Falls das hier nicht das richtige Unterforum ist bitte verschieben, hab mit der SuFu gesehen dass hier schon ein paar Mathe-Themen waren.
Vorab: Ich studiere kein Mathe und diese Vorlesung ist die einzig mathematische im Studium, mein Wissen ist also auf Abiniveau mit ner 4er-Note.

Skript:

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Seite 77.
Übungsblatt:

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Aufgabe 10.

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit an der Stelle x0 = 0.
Benutzen Sie dafur nur die Definition der Differenzierbarkeit (keine Ableitungsregeln!).
Wenn eine Funktion differenzierbar in x0 ist, berechnen Sie den zugehörigen Grenzwert. Anderenfalls
begründen Sie, warum dieser Grenzwert nicht existieren kann.

Jetzt habe ich die normale Betragsfunktion gegeben. Das Skript sagt mir zu "Definition der Differenzierbarkeit" auf Seite 77 (krieg LaTex Code hier nicht zum laufen trotz Code-Tag?):

lim f(x+h) - f(x) / h
h->0

Wenn ich da jetzt x0 = 0 einsetze bei Aufgabe 10a) bekomme ich:
f(x+h) - f(x) / h
= |x+h| - |x| / h
= |x| + |h| - |x| / h
= |0| + |h| - |0| / h
= |h| / h

Und jetzt weiss ich nicht mehr weiter. Google sagt mir die Betragsfunktion ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, wenn ich in der Rechnung oben h gegen 0 laufen lasse würde ich ja durch 0 teilen, ist das dann schon der Beweis dass die Funktion an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar ist?
Und müsste ich nicht eigentlich beide Seiten überprüfen, also einma von rechts und einmal von links kommen und schauen ob das Ergebnis gleich ist für Differenzierbarkeit? Im Skript ist nur f(x+h), aber da fehlt doch noch f(x-h)?

Und ich verstehe auch nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll, wird wohl an meinem Unverständniss gegenüber dem Skript liegen aber ... ich kapiers nicht .

Falls mir jemand dabei helfen oder mir Anregungen geben kann wie das gerechnet wird wäre ich sehr dankbar .

 

[Maxwell]

Re: Problem mit Mathe: Differenzierbarkeit in einem Punkt mittels h-Methode und Grenz

Mein Mathe 1 ist jetzt auch schon ein Weilchen her, das Argument dürfte aber sein, dass der rechts- und linksseitige Grenzwert nicht übereinstimmen (1 vs. -1).
Am besten beide Fälle getrennt aufschreiben und für die Betragsfunktion explizit f(x)=x bzw. f(x)=-x schreiben, dann sollte man es direkt sehen. Den jeweiligen Grenzwert bekommst du durch Kürzen.

 

[Commodo]

Re: Problem mit Mathe: Differenzierbarkeit in einem Punkt mittels h-Methode und Grenz

Stimmt, das macht Sinn .

Îch hab jetzt nur noch ein Problem mit 10c.
Ich muss ja "x+h" in h(x) einsetzen, muss ich jetzt schauen ob "x+h" > | < | = 0 ist und dann bei der Fallunterscheidung schauen oder schau ich nur ob "x" > | < | = 0?

Da weiss ich grade nicht wie ich das rechnen soll.

 

[Maxwell]

Re: Problem mit Mathe: Differenzierbarkeit in einem Punkt mittels h-Methode und Grenz

Ich würde direkt x=0 setzen, das ist ja die Stelle, die du überprüfen sollst. Dabei sollte dann am Ende sowas wie lim h->0 1/h = unendlich stehen.
Glaube nicht, dass man da unbedingt eine Fallunterscheidung machen muss bzw. den rechts- und linksseitigen Grenzwert braucht, da man ja eigentlich direkt sieht, dass der Grenzwert nicht existiert.

 

[MingsPing]

Re: Problem mit Mathe: Differenzierbarkeit in einem Punkt mittels h-Methode und Grenz

Wenn man's von rechts und links anschaut ist es "schön" gelöst, finde ich. Hier bspw. für h>0

[src=latex]\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{1 - 0}{h} = \frac{1}{h}[/src]

Also kein Grenzwert. Gleiches mit h<0 und man ist fertig.

Edit: Ja schade, Latex funktioniert nich so richtig... hoffentlich trotzdem verständlich