von
Vor einigen Wochen habe ich in dieser Kolumne
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Deshalb habe ich mich an Sie gewandt, meine treuen Leserinnen und Leser. Und ich habe mich sehr gefreut, als ich in meinem Postfach etliche Beispiele für außergewöhnliche Primzahlen gefunden habe. Deshalb habe ich mich entschlossen, einer Auswahl davon eine Bühne zu bieten – und sie hier vorzustellen.
Erstaunliche Zahlen
357 686 312 646 216 567 629 137
Mit dieser 24-stelligen Primzahl hat mich Helmut Mertes bekannt gemacht. Sie ist nicht nur ziemlich groß, sondern auch ein beeindruckendes Beispiel für eine »trunkierbare« Primzahl. Das bedeutet: Nimmt man nacheinander die vorderste Ziffer weg, dann ist die resultierende Zahl immer noch nur durch eins und sich selbst teilbar. Sie bietet also den Ausgangspunkt für eine Folge von 24 Primzahlen.
Um ganz genau zu sein, handelt es sich hierbei um eine »linkstrunkierbare« Primzahl, da man nur die vordersten Ziffern entfernen darf. 357 686 312 646 216 567 629 137 ist die 4260. und größte linkstrunkierbare Primzahl.
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Darüber hinaus gibt es auch »rechtstrunkierbare« Primzahlen, bei denen man die letzten Ziffern nach und nach entfernt und weiterhin eine Primzahl erhält. Von diesen Zahlen gibt es nur 83 Stück, die größte ist 73 939 133.
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Besondere Palindrome
Ich finde Primzahlpalindrome extrem schön: Sie werden von rechts wie von links gelesen. In meiner vergangenen Primzahl-Kolumne hatte ich die Belphegor-Primzahl 1 000 000 000 000 066 600 000 000 000 001 vorgestellt, auch ein Palindrom, welches das Symbol des Bösen verkörpern soll (wegen der 666 in der Mitte, die von je 13 Nullen umgeben ist). Bisher ist nicht klar, ob es unendlich viele palindromische Primzahlen gibt.
.
Doch es gibt auch über die genannten Beispiele hinaus noch durchaus beeindruckende Primzahlpalindrome, wie mir ein Leser mitteilte. Etwa die 313. Denn sie sei die einzige Primzahl zwischen zehn und zehn Millionen, die sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem ein Palindrom bilde.
Heutzutage ist es üblich, Zahlen im Dezimalsystem auszudrücken (Ausnahme sind vielleicht besonders eifrige Informatiker). Das bedeutet, dass man die Ziffern von Zahlen wie 313 nacheinander als »Hunderter«, »Zehner« und »Einer« versteht, sprich: 313 = 3⋅102 + 1⋅101 + 3⋅100.
Tatsächlich hindert uns aber nichts daran, eine Zahl durch andere Potenzen statt Zehnerpotenzen auszudrücken. In binärer Schreibweise nutzt man zum Beispiel Zweierpotenzen: In diesem Fall entspricht die 313 der Binärzahl 100 111 001 = 28 + 25 + 24 + 23 + 20, die auch ein Palindrom bildet.
Ich habe die Aussage des Lesers geprüft und dabei gemerkt, dass er
hat: Die nächstgrößere
in Dezimal- und Binärschreibweise ist 7 284 717 174 827, also eine 13-stellige Dezimalzahl. In Binärschreibweise lautet sie: 1 101 010 000 000 011 010 111 110 101 100 000 000 101 011. Damit ist 313 die einzige Primzahl mit palindromischer Darstellung im Binär- und Dezimalsystem zwischen zehn und zehn Billionen.
37 und 73
Diese beiden Primzahlen sind gewissermaßen die Klassiker unter den unteilbaren Zahleneinheiten. Wie eingangs erwähnt, hatte ich in meiner Kolumne bereits die 73 gewählt,
. Die 37 als Spiegelzahl der 73 taucht in unzähligen Zusammenhängen
auf (ich finde, in der heutigen Zeit bräuchte es einen weniger klischeebehafteten Namen).
Ich habe mich dazu entschlossen, die beiden Primzahlen erneut in meine Auflistung aufzunehmen, weil mich Wolfgang Steinicke auf eine extrem spannende Eigenschaft aufmerksam gemacht hat, die ich noch nicht kannte. Und zwar spielen die 37 und 73 eine wichtige Rolle im zahlentheoretischen »
«, das der englische Mathematiker Edward Waring im Jahr 1770 formulierte. Dabei geht es um die Frage, wie man natürliche Zahlen durch die Summe von Potenzen einer bestimmten Zahl ausdrücken kann.
So
, dass sich jede natürliche Zahl durch eine Summe aus 37 fünften Potenzen bilden lässt. Das bedeutet, dass es für jede natürliche Zahl
n eine Formel dieser Art gibt:
n=a15+a25+…+a365+a375,
wobei
a1 bis
a37 ebenfalls natürliche Zahlen sind.
Beim waringschen Problem spielt aber auch die 73 eine Rolle.
, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von 73 sechsten Potenzen darstellen lässt. Das bedeutet: Jede Zahl kann durch höchstens 73 Summanden der Form
x6 gebildet werden.
Ich hoffe, dass Ihnen die hier vorgestellten Beispiele neue Einblicke in die facettenreiche Welt der Primzahlen geliefert haben. Ich habe für meinen Teil viel durch die Leserbriefe gelernt. Und vielleicht können auch Sie nach der Lektüre des Artikels Ihre Favoritenliste um neue Primzahlen erweitern. Nochmals vielen lieben Dank für die tollen Anregungen! Ich freue mich stets über Ihre Zuschriften und über Themenideen oder skurrile Mathe-Facts.
