LGS mit einem Koeffizienten

[EinfachIrgendwasNeues]

Hallo, ich bräuchte mal bitte etwas hilfe.
Irgendwie ist mein Gehirn gerade etwas matsch nachdem ich den ganzen Tag lerne.
Wollte nun etwas für Mathe machen, da ich da teilweise noch ein-zwei Problemchen habe, aber irgendwie komme ich gerade nicht weiter.
Wäre also nett wenn man mir hier helfen würde, oder zumindest Tipps gibt wie ich auf die Lösung komme.

Ich habe dieses LGS:

x +2z=-1
λx +y +2z=2
λy -4λz=15

Nun soll ich gucken, für welche Lambda das LGS eindeutig-, mehrdeutig- und unlösbar ist.

Ich hab es dann einfach mal umgeschrieben zu:

1 2 = -1 |* (-λ)
λ 1 2 = 2
λ -4λ = 15

Dann 1. Zeile mit der 2. addiert:

1 -2λ+2 = λ+2 |* (-λ)
λ -4λ = 15

4. Zeile mit der 3. addiert:


2λ^2 -6λ = -λ^2 -2λ +15

Nach umstellen und anschließender P,Q Formel mit P= -4/3 und Q= -5
komme ich nun am Ende auf
λ1 = 3
λ2 = -5/3

Sind das jetzt die eindeutigen Lösungen oder wie war das?
Irgendwie komm ich gerade einfach nicht mehr weiter, hab einfach gerade ne riesen Blockade und weiß überhaupt nicht mehr wie es ging
Wäre sehr dankbar für jedwede Tipps im Moment, damit ich wieder auf die richtige Spur komme.

 

[TBow]

Du hast bei deiner Berechnung z "verloren".
Du müsstest etwa die Form z=Zähler/Nenner heraus bekommen.
Auf die schnelle komme ich auf...
Lösung des Zählerpolynoms: λ=-5 und λ=3
Lösung des Nennerpolynoms: λ=0 und λ=3
Das führt zu...
z= (λ+5)*(λ+3)/((λ*(λ+3))
Ist λ=0, bzw λ=3 dann wird der Nenner 0 und das LGS ist nicht lösbar.
Ist λ ungleich 3, dann Ist das LGS eindeutig lösbar.

EDIT: Biste auf einer Uni oder FH?
Wenn ja, dann gibts eine elegantere Lösung mittels Gauss.

 

[EinfachIrgendwasNeues]

Auf ner Uni.
Nenene, das Problem ist, ich hab ganz vergessen, dass die Klausur jetzt schon demnächst ist und ich vorher dachte, ich würde sie erst in ner Woche schreiben ich trottel
Sitze also an 2 verschiedenen Themen gerade dran, eieiei ^^

 

[TBow]

Wenn ihr schon gelernt habt, wie man eine Einheitsmatrix berechnet, dann wäre das der erfolgversprechendste weg.

1 0 2
λ 1 2
0 λ -4λ

- > Einheitsmatrix

-3/(λ-3) 1/(λ-3) -1/(λ*(λ-3))
6/(λ-3) +2 -2/(λ-3) (λ-1)/(λ*(λ-3))
λ/(2*(λ-3)) -1/(2*(λ-3)) 1/(2λ*(λ-3))


Wie man hier leicht erkennen kann, darf λ nicht 0 bzw 3 sein. Ansonsten wird das lineare Gleichungssystem unlösbar bzw es tritt eine singuläre Matrix auf.

 

[EinfachIrgendwasNeues]

Danke, werd mir das morgen nachdem ich etwas schlaf abbekommen habe nochmal mit klarem Kopf angucken und nochmal durchgehen

 

[EinfachIrgendwasNeues]

Ganz vergessen mich zu bedanken
Hatte, nachdem ich etwas schlaf abbekommen hatte und die zweite Klausur fertig war mal wieder hier reingeguckt und da wurde mir schnell klar, dass so nen bisschen Schlaf schon bei einigen Problemen hilft ^^
Also danke nochmal TBow