Kreis: Winkel (Alpha) berechnen

[Rakshasa]

Hallo,

irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch, vielleicht kann mir jemand mit einfachen Worten erklären, wie ich vorgehen muss (Mathe ist leider nicht gerade eine Stärke von mir):

- Gegeben ist ein einfaches, 2-dimensionales Koordinatensystem
- Ich habe zwei Punkte: M (Mittelpunkt des Kreises) sowie P - der Radius ist also bekannt.

Wie kann ich jetzt vorgehen, um den Winkel Alpha (das Fragezeichen) zu bestimmen? Mein Ansatz wäre, mithilfe des Kreisbogens weiterzuarbeiten, indem ich einen fiktiven Punkt (P2) erstelle, mit einem festen Winkel Alpha von 0 Grad oder so?

 

[epiphora]

Grundsätzlich kannst Du das mit dem Arcus-Tangens ausrechnen, allerdings musst Du das Vorzeichen dann anpassen, abhängig davon, in welchem Quadranten (falls M der Koordinatenursprung ist) sich Dein P befindet. Viele Programmiersprachen stellen dafür eine Funktion atan2 bereit, der kannst Du gleich beide Vektor-Komponenten (y und x) übergeben und erhältst den Winkel.

In Deinem Beispiel wäre das dann

[src=javascript]var p = {x: 0.707, y: 0.707};

var angle = Math.atan2(p.y, p.x);

console.log(angle / Math.PI * 180); // 45°[/src]

 

[loopzone]

Ganz einfache Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck...

Der Kreismittelpunkt hat die Koordinaten M(r;s) und P(a;b). r und a sind die Komponenten auf der horizontalen Achse, s und b die Komponenten auf der vertikalen Achse.

Du möchtest jetzt den Winkel alpha zwischen beiden Punkten bestimmen. Dazu brauchst du den jeweiligen Abstand auf den Achsen.

horizontaler Abstand = x = a - r
vertikaler Abstand = y = b - s

tan alpha = Gegenkathete / Ankathete = y / x
Um den tan alpha umzurechnen in einen Winkel, musst du ihn umkehren mit der Arcus-Tangensfunktion. Insofern erhälst du die von epiphora aufgestellte Gleichung:

alpha = arctan (y / x)

Wenn der Punkt M auf dem Ursprung liegt (r=0;s=0), sind epiphoras und meine Gleichung identisch. Im allgemeinen Koordinatensystem, in dem auch M beliebig sein kann, wäre meine Rechnung zu verwenden.

 

[Kugelfisch]

loopzone, das Problem bei deiner Rechnung ist, dass du durch die Division die Information über die Vorzeichen von x und y verlierst - schliesslich ist die Periode des Tangens Pi (nicht 2*Pi) und der Wertebereich des Arkustangens daher auch nur -Pi/2..Pi/2. Daher müssten die Vorzeichen entweder separat ausgewertet (und zudem der Fall x=0 abgefangen) werden, wenn man nicht die atan2-Funktion verwendet. Diese lässt sich jedoch durch eine simple Translation auch im allgemeinen Fall einsetzen:
[src=javascript]var angle = Math.atan2(p.y-m.y, p.x-m.x);[/src]

 

[loopzone]

[post=""243434""]@Kugelfisch:[/post]

atan2...hui. Diese Funktion gibts ja sogar in meinem Excel. Top!

 

[Rakshasa]

Danke für eure Hilfe!
Ich habe es jetzt mithilfe eines alten Projektes von mir gelöst; Trigonometrie ist bei mir einfach zu lange her
ich verstehe den Code zwar nicht ganz, aber er funktioniert.


[src=csharp]
private int getalpha(Point centerpoint, Point p, double radius)
{
double r = 0;
double n = p.X - centerpoint.X;
if (n == 0) { r = 0.5 * Math.PI; } else { r = Math.Atan((centerpoint.Y - (p.Y)) / n); }
if (n < 0) { r = r + Math.PI; }
r = 1.5 * Math.PI - r;

r = (180 / Math.PI) * r;

return Convert.ToInt16(r - 270);
}[/src]

 

[Kugelfisch]

Die Funktion ist (abgesehen von der Konvertierung in Grad, und abgesehen von der sich aufhebenden Verschiebung um 1.5*Pi bzw. 270°) äquivalent zu Math.atan2(). Ich würde dennoch dazu raten, Math.atan2() zu verwenden, da die Funktion mutmasslich effizienter und nachvollziehbarer ist als eine eigene Implementierung. Ausserdem würde ich davon abraten, intern Werte zu runden (in deinem Fall durch ToInt16 auf eine Ganzzahl) und im Gradmass zu rechnen - das erschwert nur unnötig Berechnungen mit trigonometrischen Funktionen sowie Berechnungen von Bogenradien, Abständen, etc.

 

[Rakshasa]

@Kugelfisch: Danke fürs Feedback; ich werde mal den Algorithmus optmieren.
Letztlich kommt es bei meinem Projekt auf eine Effizienz hier nicht an, weil dadurch nur eine Benutzereingabe verarbeitet wird, die nur selten erfolt.
(Die "Blickrichtung" von Sprites kann durch den Benutzer verändert werden, indem mit der Maus im Kreis um das Sprite geklickt wird).