Hilfe/Erklärung zu mathematischer Formelschreibweise / Berechnung

[theSplit]

Guten Morgen,

ich bin in Mathe leider kein Ass, daher frage ich mal hier ob mir jemand eine Formel erklären kann, evtl, einzelne Komponenten und wie diese zu lösen ist und auch "wie ließt man die Formel"?

Etwas zum Hintergrund, die Formel stammt aus einem Programmierbuch bzw. einer Übung. Aber es geht mir auch erst einmal ums grundlegende Verständnis der Schreibweise und der einzelnen Faktoren - zum Beispiel ob irgendwie "gekürzt" werden kann, um auf eine einfachere Schreibweise zu kommen.

Eine Beispielrechnung wäre ebenfalls interessant. Was ich natürlich kenne, das Wurzel ziehen mit "sqrt(wert)" - aber das war es dann auch schon, mir erschließt es sich leider nicht direkt wie ich so etwas ausdrücke, aber das ist das zweite Problem nach der Schreibweise....

Über ernstgemeinte Erklärungen wäre ich sehr dankbar.


Folgend die Formel:

 

[nik]

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Die Formel ist schon so weit wie möglich gekürzt.

x1= (-b+(b^2-4ac)^1/2)/2a
x2= (-b-(b^2-4ac)^1/2)/2a

Eine allgemeine Erklärung findest du unter anderem hier dazu:

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[Seedy]

@theSplit:

Parabel ist das Stichwort.

y=ax²+bx+c

y=x² ist die Normparabel.

a beschreibt die Öffnungsweite. je größer a ist, desto Steiler verläuft die Parabel, desto schmaler ist die Öffnung. Ein negatives a kehrt die Parabel um (Öffnung unten).
b verschiebt die Parabel nach rechts bzw. links.
c verschiebt die Parabel nach oben bzw. unten.

Bei der oberen Formel ist y=0, daher berechnet sie die Nullstellen der Parabel.

Liegt ihr Scheitelpunkt auf der x-achse hat sie eine Nullstelle
Liegt er drunter hat sie zwei, liegt er drüber hat sie keine.

Die untere Formel sind eigentlich zwei Formeln:
Du musst das einmal mit + und einmal mit - ausführen um beide möglichen Nullstellen zu erhalten.

Fürs Programmieren ist hier wichtig das du alle 3 möglichen Ergebnisse abdeckst:
2 Ergebnisse = 2 Nullstellen.
Das gleiche Ergebnis in beiden Varianten = 1 Nullstelle.
Kein Ergebnis = keine Nullstelle.

Kürzen kannst da nichts mehr, dass ist schon die Standardformel, die sollte aber idr. in jeder Mathebibliothek enthalten sein.

 

[theSplit]

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Ah, okay, also sagt das "Plusminus" das man zwei Rechnungen durchführen muß, einmal Positiv und Negativ.

Okay, das ergibt Sinn, ich hab daraufhin mal gegoogelt:

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Was ich dann aber nicht verstehe, warum rechnest du so?
x1= (-b+(b^2-4ac)^1/2)/2a
x2= (-b-(b^2-4ac)^1/2)/2a

b ^ 2 = b im Quadrat ?

Warum aber ((b im Quadrat - 4ac) ^ 1 / 2) ?

Die Teilung durch 2 * a ist klar, das steht ja unter dem Bruchstrich...

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Ähm okay, das ist genau wo mein Verständnis aufhört wenn du es mit mathematischem Volkabular ausdrückst.

Ich versuche das aber mal zu Überblicken:

a beschreibt die Öffnungsweite. je größer a ist, desto Steiler verläuft die Parabel, desto schmaler ist die Öffnung. Ein negatives a kehrt die Parabel um (Öffnung unten).

Also ist im Vergleich zum "springenden Ball" damit der "Steigungswinkel" bzw. Halbogen gemeint, die "Kurve", bzw. ob die Öffnung unten oder oben ist? Wie bei einem halbrunden "Torbogen", also "negativ" in dem Fall, oder postiiv von oben nach unten zum Mittelpunkt, nach oben hin wieder aufsteigend Korrekt?

b verschiebt die Parabel nach rechts bzw. links.

Okay, springt der Ball von "0x 0y" nach links (-x) oder (+x)...

c verschiebt die Parabel nach oben bzw. unten.

Okay, also die Wanderung auf der "y" Achse...

Bei der oberen Formel ist y=0, daher berechnet sie die Nullstellen der Parabel.

Der Teil erschließt sich mir nicht ganz, welche Auswirkung hat dies auf die "Bogenbewegung" bzw. auf den "Ball" ? Um

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zu bleiben? Auf Wikipedia wird auch ein Wasserstrahl als Beispiel angeführt, hier

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.

Oder dienen die Nullstellen nur der Genauigkeit/Größe?

 

[Seedy]

@theSplit:
Du,
vergiss mal das mit Tropfen und Bällen und mal (oder plotte) dir nen Graphen.

Dann gib mal folgendes ein.

y=x²

y=ax² ( mit a=0,5, a=2 a=-1)

y=x²+bx (mit b=0, b=1, b=1)

y=x²+bx+c (mit b=0, c=1, c=-1)

Und schau was passiert.
Plotter für sowas findest du online zuhauf, du kannst es aber auch mit Stift und Papier machen.

Parabel sind was mathematisches, das man damit auch Tropfen und Bälle berechnen kann ist ein schöner Nebeneffekt, aber keineswegs notwendig.

p.S.

^1/2 = sqrt()

Hoch 1/2 ist das gleiche wie Wurzel

 

[theSplit]

Ah okay, hab mir gerade das hier mal mit deinen Zahlen gebastelt:

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(da kann man regeln)

Also "a" ist dann wie du sagst die Breite der Öffnung, bei a0 eine Gerade, bei 0.1 und mehr ein Halbbogen nach oben, mit Zentrum unten (nach oben geöffnet). -0.1 bis -0.5 mit Zentrum oben (nach unten geöffnet) (also legt an indirekt das Zentrum des Halbbogens durch a oberhalb oder unterhalb fest?).
"b" ist der Versatz des Zentrums des Bogens, relativ parellel zum "Halbbogen" a verlaufen, (b 0 ist 0x, 0y) und b negativ verschiebt um den Faktor a nach rechts entlang des Bogens, b positiv nach links in den negativen Bereich.
Und "c" ist dann der Versatz/Offset auf der Y Achse um die das ganze verschoben wird, in Beziehung mit "b".

So in etwa?

 

[MingsPing]

Das, was Du da vorliegen hast, ist eine quadratische Gleichung.
Genauer, eine Formel, die Dir hilft, die Nullstellen einer Parabel zu bestimmen. Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse.

Da wir eine Parabel vorliegen haben, gibt es 3 mögliche Ausgänge: null, eine oder zwei Lösungen.
Woran an der Formel erkennt man die Anzahl der Lösungen? An dem Ausdruck der unter der Wurzel steht, der sogenannten "Diskriminante". Ist der Wert gleich
Null, so gibt es eine Lösung, ---> x² = 0 => x = 0
größer als Null, so gibt es zwei Lösungen, x² = 49 => x1 = 7, x2 = -7
kleiner als Null, null Lösungen. ---> x² = -9 ERROR (? -> welche reelle Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt -9? Geht nicht)

!! Das heißt für Dein Programm: Checke zu aller erst, ob die Diskriminante negativ ist oder nicht !!
(Wenn Du einfach rechnest, ohne dies zu tun, ziehst Du ggf. die Wurzel aus einer negativen Zahl --->> ERROR).

Was hat es mit dem komischen PLUSMINUS auf sich?
Nun ja, in der einfachsten Form haben wir eine Gleichung, die folgendermaßen aussieht
x² = 9

Welche Zahlen sind Lösungen für diese? Ja, genau, 3. Aber HALT, was ist mit -3? AUCH!
sqrt oder auch die Wurzelfunktion liefert Dir immer nur die positive Wurzel, also 3. Deshalb das +-, damit Du beide Lösungen bekommst.
Programmiertechnisch, wie schon gesagt, läuft das auf zwei Berechnungen heraus.

 

[theSplit]

Okay, das hilft mir schon ein Stück weit weiter, jetzt aber noch mal nen Schritt weiter unten angefangen.

-3 * -3 = 9 (Minus mal Minus => Plus)
-3^2 = -9 ?

Bedeutet hoch nicht auch, das eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird?
Mein "Taschenrechner" zeigt mir zumindest bei -3² (-3^2) -> -9 an....

Oder ist hoch in dem Fall -3 * 3 ? (Multiplikation ohne Vorzeichen?)

 

[MingsPing]

Immer Klammern setzen, du möchtest -3 mit sich selbst multiplizieren, also (-3)*(-3) :-)

(Du hast quasi gerechnet -3*3 bzw -3² statt (-3)²)

 

[theSplit]

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Okay, das mit den Klammern, bei der "Programmierung" das Minus von (-3) gehört ja zur Zahl, und nicht zur Rechnung. Das verstehe ich wiederum.

Jetzt ist mir nur das mit dem "hoch Faktor n" nicht ganz klar.

 

[MingsPing]

Ich verstehe nicht ganz genau, was Du meinst.
"a hoch b" bedeutet einfach nur "multipliziere die Zahl a b-mal mit sich selbst".

(-3)² -> nimm (-3) 2-mal mit sich selbst, also (-3)*(-3) = 9.

-3² -> nimm 3 2-mal mit sich selbst, "lasse das Minuszeichen stehen" - 3*3 =-9.

 

[theSplit]

Also der Gnome Taschenrechner, rechnet mir das hier aus... das hat mich irritiert/in in die Irre geführt.

Hab mal nen Screenshot aufgenommen:

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Jetzt weiß ich aber was du mit der Klammer meinst.... in dem Fall, dann ergibt es auch 9.... wie "doof" das man so etwas beachten muß. Wobei, in einer Rechnung würde das auch für mich Sinn machen, aus dem vorher genannten Grund (Vorzeichen != Subtraktion von etwas)

 

[MingsPing]

Ja, also das kommt daher, dass Mathematiker im allgmeinen faul sind. Und dadurch Abmachungen treffen.
Kennst Du bestimmt "Punkt vor Strich", damit spart man sich Klammern, normalerweise müsste man 5 + (3*2), durch die Abmachung ist das das gleiche wie 5 + 3*2 (und niemand würde erst 5 + 3 rechnen, also 8 und dann mal 2).
Wenn man explizit erst 5 + 3 rechnen möchte und dann * 2, so müssen Klammern gesetzt werden (5 + 3) * 2.

Das was Du bei jedem (korrekten) Taschenrechner siehst, ist noch solch eine Abmachung, quasi "hoch vor Punkt vor Strich".
-3² bedeutet also immer -(3²), nimm erst 3 mit sich selbst mal und dann negiere das Ergebnis. Möchtest Du das Minus auch quadrieren, so müssen Klammern gesetzt werden (-3)².

 

[theSplit]

Danke MingsPing, super Erklärung - habe mir auch gedacht das der Operand "Hoch" - in dem Fall eine höhe Priorität genießt, war mir aber nicht ganz sicher. Deine Erklärung löst das auf.