Umkehrfunktion

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Tomatenpfahl

Tomatenpfahl

ist überreif..
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16 Juli 2013
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Hi,

mir ist es nicht ganz klar, ist der Schnittpunkt zweier linearen funktionen der Selbe, wie der Schnittpunkt ihrer Umkehrfunktionen? :unknown:

laut meinen Ergebnissen nicht. Aber wie erklärt sich dann der Unterschied zwischen Preis und Menge, wenn man von Preisabsatzfunktionen und normalen Marktfunktionen ausgeht? Das Marktgleichgewicht sollte sich doch deshalb nicht ändern. Schnittpunkt müsste aber der selbe sein.
 
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Tatsächlich sind die Schnittpunkte nur in seltenen Fällen dieselben. Ein "Muss-Kriterium" ist z.B. dass der Schnittpunkt auf der Geraden y = x liegt, also von der Form S(a|a) sein muss.

Leider habe ich keine B/VWL-Kenntnisse, sodass ich dir zum unteren Absatz nichts sagen kann... .
 
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Tomatenpfahl schrieb:
Hi,

mir ist es nicht ganz klar, ist der Schnittpunkt zweier linearen funktionen der Selbe, wie der Schnittpunkt ihrer Umkehrfunktionen?
Zum Vergrößern anklicken....
Rechne es Dir doch aus.
Was MingsPing schon schrieb mathematisch:
1) Eine lineare Funktionen f(x) = ax+b hat die Umkehrfunktion f-1(x) = (x-b)/a für a ungeich 0
2) Ihr Schnittpunkt ist bei xS = b(1-a) - erhält man durch f(x) = f-1(x)
3) f(xS) = xS - erhält man durch Einsetzen
4) Also liegt der Schnittpunkt einer Funktion mit ihrer Umkehrfunktion immer auf der Winkelhalbierenden y=x

Damit also der Schnittpunkt zweier linearer Funktionen f und g gleich dem Schnittpunkt ihrer Umkehrfunktionen ist - sich also quasi alle in einem Punkt schneiden - muss dieser auch auf der Winkelhalbierenden liegen.

5) f(x) und g(x) = cx+d haben Ihren Schnittpunkt bei xZ = (d-b)/(a-c) für a ungleich c
6) Damit dieser auf der Winkelhalbierenden liegt, muss also f(xZ) = xZ gelten.
7) Daraus folgt für die Koeffizienten die Relation (a-1)(d-b)/(a-c) + b = 0

Wenn also 7 erfüllt ist, schneiden sich alle 4 Funktionen in einem Punkt.

Ob das jetzt für Deine VWL Relationen erfüllt ist, musst Du entscheiden. ;)

PS: War jetzt schnell so runtergerechnet. Hoffentlich stimmt's. :)
 
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  • #5
Sp bleibt bei linearität der selbe. Mein Fehler war, das Preis und Menge nicht genau so getauscht werden, wie ich das sonst in der algebraischen Analysis mache. Danke für eure Mühe.
 
Das hängt wohl davon ab, wie man Linearität definiert. Wenn man sagt, jede Funktion mit Grad 1 ist linear, dann gilt das sicherlich nicht, bspw. ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x)=2x+2, g(x)=3x+3 bei SP(x=1/2|y=3), der Umkehrfunktionen f^(-1)(x)=(1/2)*x-1, g^(-1)(x)=(1/4)*x-(1/4) ist aber bei SP'(x=3|y=1/2).

Allerdings gilt i.A., dass eine Funktion f linear ist, dann und nur dann, wenn f(x+y)=f(x)+f👍 und f(k*x)=k*f(x) ist, und das wird bei Polynomen 1. Grades nur von solchen mit y-Achsenabschnitt 0 erfüllt, sodass dann immer die Schnittpunkte der linearen Funktionen ersten Grades dem ihrer Umkehrfunktion übereinstimmen.
 
Haha wenn man die "mathematisch richtige" Definition der Linearität betrachtet ist das Problem reichlich sinnlos, weil trivial...
Der Schnittpunkt aller solcher Funktionen ist immer der Ursprung.

Unter "nicht-Mathematikern" ist eine lineare Funktion ein Polynom 1. Grades... Tatsächlich wird das sogar in der Schule so unterrichtet.
 
Teufelskreis schrieb:
Allerdings gilt i.A., dass eine Funktion f linear ist, dann und nur dann, wenn f(x+y)=f(x)+f👍 und f(k*x)=k*f(x) ist, und das wird bei Polynomen 1. Grades nur von solchen mit y-Achsenabschnitt 0 erfüllt, sodass dann immer die Schnittpunkte der linearen Funktionen ersten Grades dem ihrer Umkehrfunktion übereinstimmen.
Zum Vergrößern anklicken....
Das ist eine verschärfte Bedingung, die z.B. bei linearen Abbildungen oder für den Begriff 'Proportinalität' verwendet wird. Im Allgemeinen sind Polynome 1. Gerades mit beliebigen Koeffizienten durchaus lineare Funktionen, auch bei Mathematikern.

Das Verständnisproblem vom TS war, soweit ich das verstanden habe, dass er beim Bilden der Umkehrfunktion nicht auch die Achsen(bezeichnungen) getauscht hat.
 
@Maxwell: lineare Abbildung und lineare Funktion sind gleichwertige Begriffe, weil jede Funktion eine Abbildung und jede (reelle) Abbildung eine Funktion ist. Auch Propotionalität ist heute so definiert, dass man eine lineare Abbildung der Form y=mx finden kann mit x Ausgangswert und y Endwert und m Proportionalitätsfaktor.

Wenn man die Achsenbezeichnungen mit tauscht dann ist die Aussage von tomatenpfahl natürlich richtig aber ohne großen Wert.
 
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  • #11
Zum Verständnis. Es ging um 2 Geraden. Eine fällt und eine steigt. Diese Beiden schneiden sich.

Da man wie in der Algebra x und y nicht für mein (ökonomisches) Modell tauschen darf (kann), bleibt der Wert in der Logik der Selbe.
Die Achsen müssten getauscht werden, aber man tauscht x und y direkt in der Gleichung wieder um, da ansonsten das ökonomische Modell in der Betrachtung nur unnötig verkompliziert werden würde und so auch gar kein Sinn mehr macht.

Ob das für weitere Funktionsgrade gilt, weiss ich nicht. Kann ich mir auch nicht vorstellen.
 
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Stimmt, schlechtes Beispiel meinerseits. Bei linearen Gleichungen (algebraisch und ODEs) ist der konstante Anteil laut Definition allerdings erlaubt.
 
Naja, Maxwell, das "Linear" bei linearen Gleichungen kommt daher, dass in solchen Gleichungen ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten vorkommen dürfen; das hat weniger mit der eigentlichen Definition von "linear" zu tun.

Um ehrlich zu sein, Tomatenpfahl, versteh ich deinen letzten Post kaum... . :-)
Wahrscheinlich zu wenig Hintergrundwissen. Kannst du einen Link bereitstellen, indem das ganze erläutert wird?!
Irgendwie bin ich jetzt neugierig geworden, was da die BWLer so mit der Mathematik treiben :-P
 
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  • #14
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