[Mathe] lineare Optimierung

[Seonendseounli]

Ahoi,

Abi ist schon was her und in Mathe habe ich eh nie besonders gut aufgepasst, also verzeiht mir mein Unwissen

Ein Unternehmer stellt S unter Verwendung von z und k her.
Produktionsfunktion: S(z,k) = 10zk

Er hat 100 Geldeinheiten zur Verfügung, ein z kostet 2 GE, ein k 4 GE.

Jetzt soll die Produktion unter Beachtung der finanziellen Restriktionen maximiert werden.

Ich habe schon ein bisschen hin und her probiert, bzw. mir ein paar Videos und Artikel zum Thema lineare Optimierung angeschaut aber ich komme nicht wirklich rein.

Zunächst: Was bedeutet S = 10zk? Das 5z und 5k 1S ergeben, oder dass das Verhältnis von z und k egal ist solange es insgesamt 10 sind?
Dann: Wir müssen ja Nebenbedingungen aufstellen. Aus dem Gefühl heraus wäre eine NB: 2z + 4k <= 100.

Wie geht es jetzt weiter? Vielleicht könnt ihr mir ja nen Denkanstoß liefern

 

[Tomatenpfahl]

Es geht um die Optimierung der Produktionsfunktion unter der Nebenbedingung der Kostenfunktion als Restriktion.

S heisst Supply. Sie bezeichnet die Produktionsfunktion. Dabei sind die Beiden Variablen z und k die Inputfaktoren, die der produzent einsetzen muss um 1 Gut zu produzieren. IdR. geht man davon aus, das z und k die Inputfaktoren k = Kapital und z = Arbeit darstellen. Wobei in der kurzenfrist der Input Kapital eine fixierte Variable ist.

Die Optimalitätsbedingung ergibts sich, wenn das Verhältnis der Faktorpreise für beide Iputs der Marginalen Rate der Technischen Substitution aka. Marginale Rate der Transformation mit dieser übereinstimmen. Die MRT berechnet sich aus dem Verhältnis der beiden Grenzprodukte für Gut1 und Gut2. Die MRT ist aufgrund der strengen Monotonie der Funktion fallend, da diese gleich auch die Steigung der Transformationskurve aka. Produktionsmöglichkeitenkurve darstellt.

S = 10zk ist die Möglichkeit eine Menge unter dem Einsatz von den Inputs z und k das Gut zu produzieren.

Die Nebenbedinung ergibt sich aus der Kostenfunktion. Die Faktorpreise sind gegeben: w_1(z) = 2 und w_2(k) = 4
Das Verhältnis der Beiden Faktorpreise ist somit: w(z) / w(k) = 2/4 = 1/2
Laut Optimalitätbedinung muss diese mit der MRT übereinstimmen. Dafür braucht man aber mehr Informationen...Die hier nicht gegeben sind. Was man machen kann: z und k einsetzen in S somit: S = 10(2*4) = 80 Einheiten kann er mit diesen Kosten produzieren. Jetzt musst du dir also nur noch überlegen, wieviel man dann mit 100Geld insgesamt produzieren kann, wenn die Kostenfunktion konstant ist.

Zusatz: Gewinnfunktion berechnet sich als: G = Menge * (Preis - Kosten)

 

[Seonendseounli]

Danke erstmal für die Antwort. In diesem Fall steht S übrigens für Schokolade, k für Kakao und z für Zucker.

Wofür steht w? Und gibt S=10zk auch etwas über das Verhältnis preis in dem z und k eingesetzt werden müssen oder ist das total irrelevant?

 

[Tomatenpfahl]

W steht für den Preis des Inputs und ich meinte damit den Preis für Kakao und z für Zucker. Die Überlegung ist: Du stehst im Laden und willst Schokolade backen. Dafür brauchst du Zucker und Kakao. In deinen Taschen sind 100Euro. Also ist diese auch deine Restriktion. Da du für 100Euro also nur eine bestimmte Anzahl Zucker und Kakao kaufen kannst.

Also rechnest du Wie viel kann ich maximal mit 100Euro Zucker und 100Euro kakao kaufen ohne die 100Euro insgesamt zu übersteigen. So kannst du also auch Maximal Anzahl Schokolade herstellen.

Du könntest die Variablen der Funktion nach z und k auflösen...

 

[Seonendseounli]

Das ist mir schon klar, nur ist es doch dafür entscheidend zu wissen in welchem Verhältnis sich z und k befinden müssen oder?

 

[Tomatenpfahl]

Zum Verhälnis dieser 100.-

Ja.

 

[theSplit]

Folgende Angaben sind ohne Gewährleistung und entspringen nur meiner Logik und etwas Suchen/Wikipedia (verlinkt)

*Edit: Da ich so lange an dem Beitrag geschrieben habe, kann das mit der Definition wohl falsch sein und eventuell ist nur die Rechnung hilfreich oder auch gar nichts

Ist unter der Annahme, das man keinen Kuchen backt aus mal 500g Mehl und 75g Zucker oder 400g Mehl und 175g Zucker - sondern das ein "konstantes Produkt daraus resultiert, siehe Referenzlinks)

"Ein Unternehmer stellt S unter Verwendung von z und k her.
Produktionsfunktion: S(z,k) = 10zk"

S(z,k) = S besteht aus den Komponenten (z und k) und benötigt für eine Einheit = 10zk - meiner Einschätzung nach wären es 10z und 10k - ansonsten würde ich vermuten das man in der Produktionsfunktion die Anteil angibt in dem die Komponenten "verbaut" werden müssen um eine Einheit des Produkts zu produzieren. Also zum Beispiel S(z,k) = 8z + 2k (wäre so meiner Meinung nach logisch, siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Optimierung#Mathematische_Formulierung - die Faktoren einzeln aufzuschlüsseln in dem die Komponenten verwendet werden müssen und nicht zusammengefasst sind)

Vermutlich geht es hier rum?
http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Archiv/9027/linear-limitationale-produktionsfunktion-v6.html


"Er hat 100 Geldeinheiten zur Verfügung, ein z kostet 2 GE, ein k 4 GE."

Rein rechnerisch würde ich es so lösen:

Kapital = 100
Kosten: z = 2, k = 4
(Wenn die Annahme richtig ist das 10z und 10k benötigt werden!)

Gesamtkosten für Produktion: (1*2) + (1*4) = 6 ODER für ein Produkt: (10 * 2) + (10 * 4) = 60;
Kapital (100) / Gesamtkosten (6) = 16,666666667 (Einheiten z und k wenn diese 1 zu 1 verwenden) ODER 100 / 60 (für ein Produkt, lässt sich leichter rechnen)
Für ein Produkt: 16,666666667 / 10 (Einheiten Produktionskosten) = 1,666666667 ODER 100 / 60 = 1,666666667 (= 1 ganzes Produkt nur ein komplettes Produkt zählt)

Um die meisten Produkte bei geringster Kapitalbelastung zu generieren benötigen wir also 1 * 60 GE der 100 GE.

 

[Tomatenpfahl]

@theSplit: Mikroökonomie -(Haushalts)-Optimierung

Man könnte es auch als Extremwertproblem betrachten. Gesucht wird der Hochpunkt.

Edit Ich sehe duch rechnest

(10 * 2) + (10 * 4) = 60;

Aber S ist 10*z*k ?

@TS geb dir Morgen die Lösung, falls du selber nicht darauf kommen solltest.

Ob Faktorpreise schwanken hängt von der Fristigkeit der Betrachtung ab. In der Realwirtschaft schwanken sie idR. immer, sind zyklisch. Die Formeln sind deshalb Praktisch, weil durch deren Aufstellen die Reaktion gleich durch einsetzen der Veränderten Preise berechnet werden kann. Deshalb werden solche Maximierungs oder Minimierungsprobleme in der Ökonometrie auch als Reaktionsfunktionen dargestellt, definiert.

In diesem bsp. ist aber davon auszugehen das die Kosten für Input 1,2 als bestimmt anzunehmen sind.

Das Optimierungsproblem kann unterschiedlich angegangen werden. Man kann das Optimum für die Produktionsmenge bestimmen oder den Preis berechnen, der bei einer angebotenen Menge, den Gewinn maximiert. Die Lösung beider kann mittels Kostenminimierung oder Nutzenmaximierung bestimmt werden. Abhängig für die Lösung ist auch die Marktstruktur. Handelt es sich um ein Monopol, Duopol, dezentralisierter Markt usw. sind die Vorraussetzungen einer Optimalitätsbedingung anderst.

Ist hier ein Wettbewerbsmarkt gegeben könnte man auch das Resultat errechnen mittels auflösung von: Preis = Marginale Kosten (Grenzkosten.)

Da die Preise gegeben sind muss die variation also über die Bedingtnachgefragte Menge stattfinden.

 

[theSplit]

Du meinst bei Verwendung der billigsten Zusammensetzung von Komponenten den höchsten Output zu erzielen?

Also ohne ein (Misch)verhältnis lässt sich nicht kochen/produzieren im industriellen Maßstab *mutmaß* - Also würde ich bei der Produktionsformel schon von einer fixen Definition ausgehen. Sonst könnte man hier 9z und 1k verwenden und hätte damit die kostengünstigste Zusammensetzung - wäre irgendwie nicht logisch so vorzugehen.

 

[Tomatenpfahl]

Evtl. hilft das hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalkostenkombination
https://de.wikipedia.org/wiki/Inputwahl
https://de.wikipedia.org/wiki/Gewinnmaximierung

https://de.wikipedia.org/wiki/Cobb-Douglas-Funktion#Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

 

[MingsPing]

Du kannst hier keine (klassische) lineare Optimierung durchführen, da deine zu maximierende Funktion nicht entsprechend aufgebaut ist.
Die Zielfunktion müsste nämlich von bspw. der Form S(z,k) = 3*z + 5*k sein. Und nicht das Produkt von z und k.
Nur als Hinweis, dass du nicht nach dem Falschen googelst.

 

[Tomatenpfahl]

Also wenn S ein Cobbdouglasfunktion ist, dann ist die Form der Funktion schon richtig. Weil dann k Menge für Input 1 und z Menge für Input2 wäre. Es fehlen dann nur noch die Ausgabenanteile im exponenten. Die kann man aber berechnen: 2+4=6 somit für alpha = 2/6 und 1 - alpha = 1 - 2/6

dann kann man die CDPF mit Ln umformen und man hat: Ln(k)(alpha) + Ln(z)(1-alpha)

 

[Seonendseounli]

Erstmal danke an alle die hier was gepostet haben, ich bin leider heute Abend mit anderen Sachen beschäftigt gewesen und habe eure Antworten daher bis jetzt nur überfliegen können

Ich werde morgen nochmal genauer darauf eingehen; so weit bin ich heute noch gekommen:

S=10zk
Nebenbedingung: 2z + 4k <= 100
NB nach z auflösen: z = -2k + 50
z in S = 10zk einsetzen: S = 10*(-2k+50)*k = -20k^2+500
Das müsste man dann doch ableiten, und Nullsetzen, und das Ergebnis dann in die Nebenbedingung einsetzen oder bin ich auf dem ganz falschen Dampfer?

 

[TBow]

S=10zk
Nebenbedingung: 2z + 4k <= 100
NB nach z auflösen: z = -2k + 50
z in S = 10zk einsetzen: S = 10*(-2k+50)*k = -20k^2+500
Das müsste man dann doch ableiten, und Nullsetzen, und das Ergebnis dann in die Nebenbedingung einsetzen oder bin ich auf dem ganz falschen Dampfer?

Richtig. Man müsste jedoch auch der Vollständigkeit halber mit der zweiten Ableitung kontrollieren, ob ein Hochpunkt vorliegt und auch die Ränder der Funktion untersuchen.
Am besten lässt man sich die Funktion aufzeichnen, denn dann sieht man sofort, wie sie aussieht und wo das gesuchte Maximum liegt.
Um auch die Mathematiker zufrieden zu stellen, müsste man auch noch die Nebenbedienung genauer untersuchen, da es sich hier nicht um eine Gleichung handelt, sondern eben um eine Ungleichung.

Dein Ansatz bringt dir aber schon mal das korrekte Ergebnis.
Lösung: k=12.5 und z=25

EDIT: Bei dir hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen: S = 10*(-2k+50)*k = -20k^2+500
Es müsste S = 10*(-2k+50)*k = -20k^2+500k lauten.

 

[Tomatenpfahl]

Also ich hät es jetzt mal einfach so gerechnet: S sei eine CBDPF der Form S(k,z) = (10z^alpha) * (k^1-alpha)

alpha = 2/6 und 1 -alpha = 1 - 2/6

Dann hätte ich die CDPF partiell nach k und z abgeleitet und das Marginal Produkt der beiden Faktoren erhalten.
Dann die Bedingung aufstellen das: -GRT = - z(faktorpreis) / k(faktorpreis)
GRT berechnet als: GRT= - (MP von z/ MP von k)

Für die Optimalitätsbedinung dann -GRT = - z(faktorpreis) / k(faktorpreis) entsprechend aufgelöst.

und in die Nebenbedinung eingesetzt: w_1*z+w_2*k und wieder nach den Mengen aufgelöst.

 

[MingsPing]

Offtopic:
@Tomatenpfahl: Nein, für eine Lineare Optimierung ist die Zielfunktion nicht geeignet. Nur das habe ich gesagt, da der Betreff des Threads so heißt.

 

[BurnerR]

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